Avvalroq e‘tiboringizga matematika fani bo‘yicha 9-sinf uchun olimpiada II tur topshiriqlarini havola etgan edik. Quyida ushbu topshiriqlar yechimlari keltirilmoqda.
- Yechish: Savdogar dastlab olgan tuziga x so‘m to‘lagan bo‘lsin. U holda u do‘konida x +100 so‘mga sotgan. Ikkinchi safar bozorda x+100 so‘m sarflagan va do‘konida x+100+120= x+220 so‘mga sotgan. Proporsiya tuzamiz: x:(x+100)= (x+100):(x+220). Proporsiyani yechsak x= 500 chiqadi.
Javob : 500 so‘m
2. Yechish: O parallelogrammning diagonallari kesishgan nuqta bo‘lsin. Masala shartidan AB=AO=OC=CD ekanligi kelib chiqadi. Y<kdb=<bda=onli uchburchakning yon tomonlari bo‘lgani uchun. Shunga ko‘ra, KO BKD uchburchakning balandligi bo‘ladi. OC=CD ekanligidan CQ OCD uchburchakning balandligi. Shunday qilib, CQ parallel KO, u holda proporsional kesmalar haqidagi teoremaga binoan (yoki BOK va BQC o‘xshash uchburchaklar) BK:KC=BO:OQ= 2:1. J: 2:1
3. Yechish: Javob: a) ha, masalan x2-7x+12=0 va x2-8x+12=0.1-tenglamaning ildizlari 3 va 4, 2-tenglamaning ildizlari 2 va 6.
b) q<o bo‘lsin, u holda har bir tenglama turli ishorali ildizlarga ega bo‘ladi. Aytaylik, x1>0 va x2<0 – 1-tenglamaning ildizlari, x3>0 va x4<0 2-tenglamaning ildizlari bo‘lsin. Viyet teoremasiga asosan, x1x2=q, va x3x4= q, demak,
x1(-x2)= x3(-x4)= –q. Bundan tashqari, x1x3, x2=x4. Berilgan tenglamalar bir xil ildizga ega emas. Aytaylik x1<x3 bo‘lsin u holda –x2> –x4, bundan x2<x4. Shunday qilib, barcha ildizlar butun sonlar, u holda x3–x11 va x4-x2. Yana Viyet teoremasidan foydalansak, ,x1+x2=p va x3+x4= p+1. U holda (p+1)-p= (x3+x4) –( x1+x2) =( x3–x1) +( x4-x2) 2.(p+1)-p=1. Olingan qarama-qarshilik shuni ko‘rsatadiki, q<0 da masala sharti bajarilishi mumkin emas.
Javob: yo‘q
4. Yechish:
Shartdan quyidagilar kelib chiqadi.
5. Yechish:
299 va 300 sonlari shunday xossaga ega. Haqiqatan, 2⋅9⋅9:3=54. Bu sonlar shunday xossaga ega bo‘lgan sonlarning eng kichiklaridir. Qolgan sonlarni ketma-ket kelgan oxirgi raqamlari 299 va 300 bilan tugagan sonlardan tuzish mumkin.
