Olimpiada IV tur masalalari yechimlari (9-sinf)

Siz bu yerda saytimizda e’lon qilingan matematika fanidan 6-sinf uchun «Olimpiada IV tur masalalari» yechimlari bilan tanishishingiz mumkin.

Yechish: MNK va KPE uchburchaklar MKE uchburchakni tashkil qiladi.U holda beshburchakning yuzi 2 ta MKE uchburchak yuziga teng bo’ladi.Demak, 2⋅1/2⋅1⋅1=1;
Yechish: x= 13da a⋅13²+b⋅13+c= 2;

x= 60da a⋅60²+b⋅60+c= 3; 2-tenglikdan 1-tenglikni ayirib topamiz:

a(60²-13²) +b(60b-13b)=1; a(60-13)(60+13) +b(60-13) =1; agar a va b butun bo’lsa, u holda 1 47 ga bo’linishi kerak.Bu esa mumkin emas.

Yechish: ABC uchburchakda AC= b, AB= c bo’lsin.Kosinuslar teoremasiga asosan quyidagiga egamiz:

BC²= b²+c²-2bccosA, yoki BC²= b²+c²-bc (1)

Sinuslar teoremasiga asosan, $\frac {AC} {SinB}=\frac {BC} {SinA}$ , Bu yerdan $SinB=\frac {b\sqrt {3}} {2BC}\, yoki\, {Sin}^{2}B=\frac {3{b}^{2}} {4{BC}^{2}}$ , yoki

, (1) ni hisobga olsak ${Sin}^{2}B=\frac {3{b}^{2}} {4({b}^{2}+{c}^{2}-bc)}$ (2)

Masalaning shartiga ko’ra $\frac {b} {c}=\frac {\sqrt {3}} {2}+\frac {1} {2}$ , bu yerdan $b=\, (\frac {\sqrt {3}} {2}+\frac {1} {2})c$ , u holda (2)

${Sin}^{2}B=\frac {2+\sqrt {3}} {4}$ , ${Sin}^{2}B=\frac {1-2{Cos}^{2}B} {2}$ u holda $\frac {1-2{Cos}^{2}B} {2}=\frac {1+\sqrt {3}} {4}$ . Bu yerdan topamiz

$Cos2B=-\frac {\sqrt {3}} {2}$ ,Yoki 2B= 150⁰; <B= 75⁰; Javob: <B= 75⁰